Autour de la lettre en cinquième/quatrième

Les quatre vidéos qui suivent ont été conçues à partir d'une activité papier/crayon très souvent expérimentée en collège. Elles initient un parcours d'apprentissage plus large autour de la lettre, du programme de calcul, des notions de fonction et d'équation.

Analyse a priori :

Niveau : cinquième, début de quatrième.
Prérequis : connaissance des figures géométriques classiques et notion de périmètre d'une figure.
Objectifs disciplinaires :

  • introduire la notion de variables (libre, dépendante) et de dépendance ;
  • distinguer entre variable numérique et variable grandeur ;
  • produire et utiliser d'une expression littérale.

Objectifs techniques :

  • découvrir et utiliser un curseur sous GeoGebra (version 5) ;
  • utiliser la vidéo pour un travail dynamique à la maison ;
  • utiliser la vidéo pour un travail en autonomie en classe.

Descriptifs :

  • Périmètre du Bicarré (1ère partie): vidéo (3 minutes environ);

    Cette première vidéo est proposée dans le cadre d'un travail à la maison et doit permettre à l'élève de produire un dessin papier crayon de la situation variable.
    L'élève est confronté dans cette vidéo à la notion de variable numérique à travers la manipulation d'un curseur tantôt de manière ponctuelle, tantôt de manière continue. Il est amené à lier les différentes variables libres en jeu dans cette situation qui apparaissent tour à tour à l'écran (la variable numérique, l'objet géométrique variable, sa grandeur associée). Dans un deuxième temps, la situation "Bicarré" met en regard les variables libres et les variables dépendantes, tant numériques que géométriques. Le passage d'un nombre à un autre via le curseur permet à l'élève de prendre conscience de la variabilité de la situation et de s'approprier l'activité dans le but par la suite de construire une instance différente de la figure (un dessin). L'activité initiale proposait en papier crayon trois dessins de la situation ; la vidéo apporte toute la richesse du dynamisme de la figure, permettant à l'élève de se forger l'imaginaire lié à la notion abstraite de variable. Contrairement à la manipulation d'un fichier de géométrie dynamique par l'élève, la vidéo bien que contrainte permet un choix orienté des variables didactiques en lien avec les objectifs pédagogiques.

  • Périmètre du Bicarré (2ème partie): vidéo (2 minutes environ);

    Cette deuxième vidéo est proposée dans le cadre d'un travail autonome en classe ; elle présente à l'élève les différentes caractéristiques de la figure "Bicarré" et lui permet de valider ou non le travail qu'il a réalisé à la maison. Dans la suite, on présente un bicarré avec son périmètre et on demande à l'élève de calculer les périmètres de quatre autres bicarrés présentés successivement à l'écran : à la suite de chaque bicarré proposé, l'élève est invité à mettre en pause la vidéo afin d'effectuer sur son cahier le calcul demandé. Les quatre bicarrés proposés ne comportent pas les mêmes infomations : les deux premiers contiennent les longueurs des côtés des deux carrés ; le troisième ne fait apparaître que la longueur du côté du petit carré ; dans le dernier, toutes les longueurs des différents segments sont indiqués avec en particulier la présence des éléments de longueur 1 cm. Contrairement à ce qui était proposé dans l'activité initiale, la vidéo permet à l'élève de mettre en pause le film, de procéder à des retours en arrière pour revoir certains détails en fonction du dernier dessin proposé : certains élèves seront parvenus à développer des stratégies adaptées dès les premiers dessins proposés, d'autres pourront corriger leurs précédents calculs, chacun étant ainsi amené à travailler à son rythme.

  • Périmètre du Bicarré (3ème partie): vidéo (2 minutes 30 environ);

    Cette troisième vidéo est proposée dans le cadre d'un travail autonome en classe ; elle présente la correction des différents périmètres demandés sans proposer de stratégies particulières. Dans la suite, elle introduit la lettre pour désigner le nombre représenté par le curseur (le nombre est remplacé par la lettre a) ; en parallèle, la longueur du côté du petit carré devient "a cm" ; on modifie la valeur de "a" à l'aide du curseur (on ne voit pas la valeur de la variable a) et la figure se modifie en conséquence tout comme ses grandeurs associées ; cependant, aucun affichage ne change ("a", "a cm", "1 cm"). Dans l'activité papier crayon initiale, l'élève est placé devant différents dessins fixes avec des affichages fixes. La vidéo confronte l'élève à la variabilité de la situation qui s'oppose à la fixité des affichages, un premier pas vers la compréhension de la notion de variable : "a" possède une valeur que l'on ne connait pas mais qui ne nous intéresse pas particulièrement dans le travail qui suit. En effet, on demande de déterminer le programme de calcul du périmètre pour n'importe quel valeur du nombre a.
    La dernière étape propose un changement de statut de la lettre a : de variable, elle devient inconnue ; on attend ici de l'élève qu'il mette en oeuvre une stratégie par essais et corrections ou bien une procédure arithmétique liée au programme de calcul ou à la situation géométrique présentée à l'écran.

  • Périmètre du Bicarré (4ème partie): vidéo (un peu moins de 4 minutes);

    Cette dernière vidéo est proposée dans le cadre d'une synthèse de l'activité en classe : elle sera mise à disposition des élèves qui pourront la visualiser à volonté. Elle présente le programme de calcul à travers la correction du travail précédent. Dans un premier temps, le programme est construit puis appliqué sur les quatre exemples numériques de la vidéo 2 ; ensuite, on remplace le nombre de départ par la lettre a et la longueur du côté du petit carré par "a cm" tout en conservant un affichage numérique du procédé de calcul ainsi que des résultats associés (image du nombre et périmètre). On fait varier le nombre a dont la valeur reste affichée uniquement dans le procédé de calcul : les étiquettes "a" restent inchangées alors que la figure se modifie ainsi que le programme de calcul et les résultats. On généralise ensuite en remplaçant les différentes valeurs numériques par les expressions littérales correspondantes. Comme cela s'était produit dans la vidéo 3, tous les affichages restent fixes lorsque la valeur de a change tandis que la figure se modifie.
    Pour terminer, on fait apparaître la valeur demandée du périmètre dans la vidéo précédente et on propose une stratégie arithmétique sur le programme de calcul pour trouver la valeur de l'inconnue "a" qui apparaît alors à l'écran.

Pour aller plus loin :

Nous avons conçu d'autres activités tantôt papier crayon tantôt avec un support vidéo, pour un travail en classe ou à la maison complétant cette entrée dans la lettre. Nous nous sommes fixés comme objectifs : de proposer d'une part, une autre activité autour du même programme de calcul sur une situation d'aire, d'autre part, deux autres activités sur un second programme de calcul à travers deux situations sur des grandeurs de natures différentes. Il nous a également paru intéressant de croiser ses quatre activités pour rechercher des égalités d'aires et de périmètres, amenant ainsi l'idée d'une même équation pour des problèmes différents.