IREM de Rouen

Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques

Travail autour de l'égalité

Ces différentes activités ont pour objectif d’introduire la notion d’équation.
Pour cela, les élèves doivent classer différentes affirmations en trois catégories : toujours vraies, parfois vraies / parfois fausses, jamais vraies.
Les égalités sont ainsi présentées comme étant des propositions (vraies ou fausses) et les équations comme des prédicats (moules pour fabriquer des propositions à partir d’un ensemble de valeurs possibles de ou des inconnues).
Ces activités permettent également de définir la notion d’identité (équation qui admet tout nombre comme solution) et de préciser qu’effectuer du calcul littéral consiste à écrire une succession d’identités.

Classe de cinquième
Classe de quatrième   Variante
Classe de 3ème - 2nde

Vers la résolution d'équations

Cette activité permet de revenir sur la notion d’équation, d’en préciser les différents types (une ou plusieurs inconnues, du premier degré ou non) et d’introduire le vocabulaire (inconnue, solution, résolution, équations équivalentes).
Une variante est proposée avec une consigne supplémentaire portant sur les équations à deux inconnues.

Une vidéo permet de présenter les premières propriétés liant égalité et opérations.

Vidéo 1 (durée 2 min 30 s) : Cette vidéo présente les propriétés qui lient égalités et opérations. Elle introduit ainsi des outils nécessaires à la résolution d’équations du premier degré à une inconnue.

Résoudre une équation

1)    Exercices de résolution d’équations du type x + a = b : les vidéos suivantes proposent deux méthodes de résolution des équations de cette forme.

Vidéo 2 (durée 4 min 02 s) : Cette vidéo propose, à partir de deux exemples, une méthode de résolution des équations de la forme x + a = b. Cette méthode consiste à ajouter l’opposé de a à chaque membre afin d’isoler x.
Vidéo 3 (durée 4 min 13 s) : Cette vidéo présente, toujours à partir de deux exemples, une autre approche pour résoudre les équations de la forme x + a = b. La méthode utilise les opérations symétriques pour isoler x.

Deux exercices d’application sont ensuite proposés. Le premier propose de résoudre quatre équations de la forme  x + a = b. Le second porte sur la notion de solution d’une équation et permet le changement de statuts des paramètres a et b qui deviennent alors des inconnues.

Classe de 3ème - 2nde

2)    Exercices de résolution d’équations du type ax = b : la vidéo suivante propose une méthode de résolution des équations de cette forme.

Vidéo 4 (durée 4 min 14 s ) : Cette vidéo expose, sur deux exemples, une méthode de résolution des équations de la forme ax = b. Pour isoler x, on multiplie chaque membre de l’équation par l’inverse de a (a≠0).

Deux exercices d’application sont ensuite proposés. Le premier propose de résoudre quatre équations de la forme ax=b. Le second porte sur la notion de solution d’une équation et permet le changement de statuts des paramètres a et b qui deviennent alors des inconnues.

Classe de 3ème - 2nde

3)    Exercices de résolution d’équations du type ax + b = c : la vidéo suivante propose une méthode de résolution des équations de cette forme.

Vidéo 5 (durée 5 min 12 s ) : Cette vidéo présente la résolution de deux équations de la forme ax + b = c. Dans le premier exemple, on neutralise d’abord b puis ensuite a. Dans le second exemple, on compare deux méthodes : on choisit d’abord de neutraliser le terme b ou on commence par neutraliser le facteur a.

Deux exercices d’application sont ensuite proposés. Le premier propose de résoudre quatre équations de la forme ax+b=c. Le second porte sur la notion de solution d’une équation et permet le changement de statuts des paramètres a, b et c qui deviennent alors des inconnues.  

Classe de 3ème - 2nde

4)    Exercices de résolution d’équations du type ax + b = cx + d : les vidéos suivantes proposent, à partir d’exemples, des méthodes de résolution des équations de cette forme.

Vidéo 6 (durée 3 min 33 s ) : Cette vidéo propose une méthode de résolution d’une équation du premier degré à une inconnue x de la forme ax + b = cx + d. Pour cela on se ramène à la forme a’x+b=d en neutralisant le terme cx contenu dans le second membre.
Vidéo 7 (durée 5 min 03 s ) : Dans cette vidéo, les résolutions de deux équations du premier degré à une inconnue x de la forme ax + b = cx + d sont décrites. La zone de travail centrale disparaît pour permettre à l’élève de visualiser mentalement les différentes manipulations à effectuer. Ainsi, cela permet de focaliser l’attention sur les traces écrites à produire.

Niveau 1 : En vous appuyant sur la vidéo suivante, résoudre les trois équations :

Vidéo 8 (durée 6 min 12 ) : Trois résolutions d’équations du premier degré à une inconnue x de la forme ax + b = cx + d sont proposées ici. La première correction présente une résolution avec la zone de travail. Les deux autres résolutions apparaissent sous forme de traces écrites dynamiques.

Niveau 2 : Même exercice avec les équations suivantes :

Vidéo 9 (durée 4 min 11 s ) : Deux équations se ramenant à des équations du premier degré sont présentées. Dans les deux cas, la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition est appliquée pour transformer les produits en sommes. Deux méthodes (tableau ou ligne) sont utilisées pour développer les produits.

L’exercice suivant reprend les deux niveaux de difficultés et propose de résoudre sept équations du premier degré (ou se ramenant au premier degré) à une seule inconnue x.

Classe de 3ème - 2nde

L’ensemble des exercices complémentaires est regroupé ci-dessous.

Classe de 3ème - 2nde