Modélisation 2

Les cinq premières étapes constituent un parcours d'apprentissage autour de la modélisation d'une situation par des fonctions. Certaines sont accompagnées de vidéos. Elles sont l'occasion de se constituer un point de vue assez complet sur ce qu'est la représentation graphique d'une fonction de ce qui ne l'est pas. Ces activités doivent aussi permettre aux élèves d'entrevoir ce que signifie le terme "modéliser" en mathématiques.
Les trois dernières étapes sont davantage destinées à une prise d'initiative des élèves en regard des précédentes. L’objectif supplémentaire de cette suite d'activités est d'utiliser cet imaginaire pour se représenter les situations proposées sous la forme d'un énoncé papier/crayon.
Analyse a priori :
Niveau : troisième, seconde.
Prérequis : proportionnalité, fonctions affines, représentation graphique d'une fonction.
Objectifs disciplinaires :
•    Caractériser la représentation graphique d'une fonction ;
•    Savoir modéliser une situation à l'aide d'une fonction représentée graphiquement ;
•    Manipuler le modèle fonctionnel à travers ses différentes représentations (numérique, algébrique, graphique) ;
Objectifs techniques :
•    Utiliser la vidéo pour un travail dynamique à la maison ;
•    Utiliser la vidéo pour un travail en autonomie en classe.

Étape 1 : Des courbes...
Elle est sous forme papier/crayon (énoncé) ; on peut la donner à chercher en classe ou à la maison. Cependant la mise en commun devrait se faire en classe afin de dégager les caractéristiques de la courbe représentative d'une fonction (à distinguer de la courbe d'une relation non fonctionnelle). Ce sera le moment de revenir sur les représentations graphiques de fonctions affines ou linéaires et de découvrir éventuellement des fonctions affines par morceaux ou une fonction non continue.
Toutes ces fonctions sont définies sur l'ensemble des nombres compris entre 0 et 64 en prévision des activités suivantes.		    
Étape 2 : En piste...
Dans un premier temps, les élèves doivent visionner à la maison une vidéo (4 min 37) présentant dix situations de courses à pied : ils doivent décrire précisément par écrit chacune de ces situations. Dans un second temps, en classe, ils doivent associer les situations à certaines courbes de l'activité 1 (énoncé). On peut faire travailler les élèves en groupes afin de confronter leurs descriptions : à la demande des élèves, la vidéo sera de nouveau mise à leur disposition.
A l'issue de l'activité, une vidéo de correction (4 min 37) leur est proposée : elle montre la construction du graphique pour chaque situation.

 

 

 

 

 

 
Étape 3 : Quelle course ?
Cette activité, sous forme papier/crayon (énoncé), place l'élève dans une situation inverse de celle de l'activité 2: il doit décrire une situation à partir d'une représentation graphique proposée. Plusieurs choix sont possibles.		    
Étape 4 : Le coureur...
Elle est sous forme papier/crayon (énoncé) ; on peut la donner à chercher tout ou partie en classe ou à la maison.
Elle nécessite un débat de classe quant aux choix des représentations graphiques qui conviennent (questions 1 et 2). A la question 2, la vitesse du coureur est constante : c'est l'occasion de faire calculer des vitesses dans les situations sélectionnées à la question précédente (vitesse moyenne, vitesse instantanée). A la question 1, rien ne dit que la vitesse est constante : cinq représentations graphiques conviennent. La question 2 permet de ne conserver que deux courbes pour modéliser la situation (le modèle choisi dépend de l'unité de longueur retenue).
Dans la question 3, on travaille sur le modèle imposé en oubliant temporairement la situation concrète originelle. Elle ne réapparaît que dans l'interprétation demandée à la fin.		    
Étape 5 : Le relais...
Cette activité est proposée avec un énoncé papier/crayon accompagnée d'une vidéo (1 min 49) qui présente une course de relais de trois fois 400 m. Elle peut être réalisée à la maison ou bien en travail autonome en salle informatique.
Les premières questions posées font appel à la proportionnalité.
Une correction de la dernière partie est proposée sous forme vidéo (1 min 53) avec des ralentis au moment des passages de témoins pour expliquer les sauts de la courbe (le modèle utilisé est celui qui correspond à la relation de la distance en mètres en fonction du temps en secondes). Le modèle est une fonction affine par morceaux non continue. On peut vérifier les résultats des questions précédentes par lecture graphique.

 

 
Étape 6 :
Cette activité est sous forme papier/crayon (énoncé).
Elle pourra aussi être fournie aux élèves à partir d'une vidéo (1 min 42).
Elle met en scène un relais de trois coureurs et un quatrième coureur qui s'entraine pendant le temps du relais. La vidéo présente la course sans bruit de fond, une manière de commencer à s'affranchir de la réalité de la situation pour se créer un imaginaire correspondant.
Les élèves doivent donc prendre l'initiative de modéliser les deux situations à l'aide de modèles graphiques a priori semblables à ceux qui ont été réalisés dans les activités précédentes. La superposition des deux modèles conduit à envisager de trouver une solution d'une équation, soit graphiquement, soit algébriquement à condition de déterminer les équations de chaque droite.
Une vidéo de correction (2 min 11) met en scène la superposition des courbes des modèles ainsi que la visualisation de l'image de la rencontre des coureurs sur la piste puis du point d'intersection de deux segments. Une résolution du système des deux équations de droites à l'aide du calcul formel de GeoGebra est proposée.
Un tutoriel vidéo (3 min 54) est disponible ici pour apprendre à effectuer ce type de résolution et pour s'exercer avec d'autres systèmes (prise en main du logiciel et petits exercices).

 

 

 

 
Étape 7 :
Cette activité (énoncé) propose une situation similaire à celle de l'activité 6. Il n'y a pas de vidéo : les élèves doivent donc maintenant imaginer la course des quatre coureurs pour déterminer ensuite les modèles fonctionnels à utiliser pour répondre au problème.
Elle nécessite l'introduction d'une inconnue t représentant le temps mis par le premier coureur pour effectuer son tour de piste. La démarche reste similaire à celle de l'activité 6 mais les élèves doivent travailler avec des équations de droite qui dépendent de t (ici son statut est plutôt un paramètre). La donnée 78 s et la recherche de l'intersection donnent alors à la lettre t le statut d'inconnue. Dans la seconde question, t prend la valeur 52 et on détermine la distance correspondant à 78 secondes de parcours. On notera que la lettre t occupe différents statuts durant ce travail (paramètre, inconnue, indéterminée et lettre évaluée).		    
Étape 8 :
Cette activité (énoncé) propose une variante avec un relais de quatre coureurs qui sont photographiés par un journaliste qui fait le tour de la piste en sens inverse. Il n'y a pas de vidéo : à nouveau, les élèves doivent imaginer la situation puis déterminer les modèles fonctionnels à mettre en jeu pour répondre au problème.
Dans cette dernière activité, plusieurs démarches sont envisageables. La méthode algébrique est de loin la plus longue et la plus fastidieuse à mettre en œuvre. Une démarche arithmétique qui s'appuie sur le fait que tous les protagonistes se déplacent à vitesses constantes permet de déduire que le photographe rencontre un coureur toutes les 47 secondes et fait donc à chaque fois un cinquième du tour de piste (soit 80 m) : cette donnée temporelle ne sert pas pour déterminer le lieu de rencontre du photographe avec le troisième coureur (3 fois 80 m dans le sens contraire) ; ce dernier aura donc parcouru 160 m.
Une démarche géométrique est aussi envisageable : elle s'appuie sur la représentation graphique de cinq segments et l'utilisation des propriétés de Thalès. On notera que ces représentations graphiques sont alors considérées comme des objets géométriques ayant leur existence propre déconnectés des fonctions dont elles sont issues. On a ici un changement de statut de la représentation graphique des fonctions.
A titre d'anecdote, la démarche arithmétique ne nous est apparue qu'à travers la solution géométrique : on notera la prégnance du dessin qui induit fortement les raisonnements.