IREM de Rouen

Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques

La boîte du pêcheur

Cette activité a pour objectif d'introduire la notion d'équation du premier degré à une inconnue (avec l'inconnue présente dans les deux membres de l'équation).

Les élèves trouvent généralement la solution par essais et corrections successifs. Cette méthode permet à l'enseignant de présenter l'équation comme un "moule" qui permet d'obtenir des égalités vraies ou fausses suivant la valeur attribuée à l'inconnue.

La synthèse permet de faire découvrir les différentes étapes de la résolution de cette équation en les visualisant à travers les  évolutions successives de la figure représentant la boîte.

Cette synthèse corrigée présente une forme de bilan qui peut être proposé pour cette activité.

Le fichier Géoplan ci-contre permet de visualiser de façon dynamique les différentes étapes illustrées dans la fiche de synthèse de l'activité. Les commentaires sont accessibles avec F3 pour permettre de connaître les touches à utiliser.

Les fichiers ci-contre proposent quelques remarques et conseils pour la mise en oeuvre de cette activité.

La carpette

Cette situation repose sur une figure complexe dont il faut déterminer la mesure de l'aire, une dimension étant inconnue et représentée par la lettre y. Les élèves doivent produire des formules littérales pour exprimer cette mesure d'aire. Les expressions littérales obtenues se présentent sous différentes formes. Le calcul littéral doit permettre d'obtenir une forme développée et réduite unique.

Le fichier Géoplan ci-contre permet de visualiser différentes décompositions de la surface. Les commentaires sont accessibles avec F3 pour permettre de connaître les touches à utiliser.

Le document ci-contre reprend les huit décompositions proposées dans le fichier Geoplan et peut servir de support pour effectuer le bilan de l'activité. Un travail sur le calcul littéral (développement, réduction) peut être engagé.

Les fichiers ci-contre proposent quelques remarques et conseils pour la mise en oeuvre de cette activité.

Statuts du signe égal

Les élèves doivent traduire en langage naturelle des égalités mathématiques.
L'objectif de ce travail est de faire émerger différents statuts du signe "=" et la définition de l'égalité : deux représentations généralement différentes d'un même objet mathématique (deux signifiants pour un seul signifié).

Le document ci-contre (en docx et pdf) propose une traduction pour chaque égalité. D'autres formulations sont bien évidemment possibles mais il apparaît souhaitable que l'enseignant privilégie des traductions qui renforce l'aspect statique (6+5 et 11 sont deux écritures du même nombre) et gomme l'aspect dynamique (6+5 donne 11 ou fait 11).

Egalités vraies ou fausses

Cette activité propose 20 égalités qui peuvent être "toujours vraie", "parfois vraie" ou bien "jamais vraie" (donc "toujours fausse").
Elle permet de distinguer les statuts d'inconnue et d'indéterminée de la lettre mais aussi de revenir sur les priorités opératoires et la distributivité.
On aborde aussi la notion de contre-exemple pour invalider le vrai ou le faux tout en sous-entendant le quantificateur universel ("pour tout") dans l'identité.
Une correction est aussi proposée.
Cette activité complète celle proposée en cinquième.

Nombre + 100

Cette activité s'appuie sur un programme de calcul. Les élèves doivent déterminer le programme de calcul inverse, c'est-à-dire une procédure permettant de retrouver le nombre de départ connaissant le nombre d'arrivée.
Les élèves utilisent souvent une méthode arithmétique s'appuyant sur deux ou trois exemples qui leur suffisent pour dégager une procédure générale. Pour faire émerger la lettre comme outil de preuve, l'enseignant peut alors proposer différents résultats et demander aux élèves de retrouver les nombres de départ et de vérifier leurs propositions. Des nombres d'arrivée comme -7 ; 11,72 ; -3,149 ; 3/7 ; etc. nécessitent des calculs compliqués et répétitifs et peuvent conduire les élèves à utiliser une lettre.

Activité Yann

Cette activité s'appuie également sur un programme de calcul mais, contrairement à la précédente, le nombre d'arrivée est constant et ne dépend donc pas du nombre choisi au départ. Dans un premier temps, les élèves peuvent justifier leur réponse en utilisant une méthode exhaustive : ils testent les neuf entiers possibles de 1 à 9. Pour la deuxième partie, le recours à la lettre s'impose. De nouveau, l'enseignant peut proposer aux élèves de vérifier leur réponse avec des nombres de plus en plus compliqués (nombres négatifs, décimaux non entiers, rationnels non décimaux, etc.). La complexité et la répétitivité des calculs doivent conduire les élèves à s'engager dans un calcul littéral.

Trois programmes de calcul

Les programmes de calcul proposés en quatrième permettent de travailler principalement l'aspect procédural des expressions algébriques produites. Cette activité s'intéresse plus particulièrement à l'aspect structural des expressions littérales : les élèves doivent montrer l'équivalence de programmes de calculs. Ils sont à la fois confrontés à la notion de preuve par le calcul littéral et de contre-exemple pour disqualifier l'équivalence de deux programmes de calcul.

Carrés magiques

Cette activité permet de travailler la réduction d'expressions littérales de façon ludique. La lettre prend, suivant la consigne, le statut d'indéterminée ou d'inconnue.

Les six premières consignes proposent d'effectuer des sommes simples d'expressions littérales.
Les consignes 7 et 8 s'intéressent à deux équations du premier degré à une inconnue de la forme a×x+b=c et de la forme a×x+b=c×x+d.

Les documents ci-contre proposent une correction de cette activité.

Simple distributivité

Le parcours 5 intitulé "Calcul littéral" permet de découvrir la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition en s'appuyant sur des tableaux multiplicatifs. Il aborde aussi bien le développement que la factorisation. Axé principalement sur la simple distributivité, il permet d'introduire, en fin de parcours, la double distributivité.
Il est composé de deux fiches et de cinq vidéos.

Equations du premier degré

Le parcours 10 intitulé "Equations du premier degré" permet de travailler la résolution d'équations. Après une première vidéo présentant les propriétés reliant opérations et égalités, huit autres vidéos permettent de visualiser de façon dynamique les différentes étapes de la résoltution d'une équation. Des exercices d'application sont systématiquement proposés.