IREM de Rouen

Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques

Nombres égaux

L'objectif de la première consigne est de faire prendre conscience aux élèves qu'un nombre possède plusieurs écritures (une infinité). Une égalité numérique s'écrit donc entre deux représentations du même nombre. La consigne 2 permet de travailler la notion de substitution. Les élèves sont amenés à choisir la meilleure écriture d'un nombre pour effectuer un calcul ou répondre à un questionnement : l'écriture "la plus simple" n'est pas toujours la plus pertinente.
La version pour la classe de troisième tient compte des modifications de programme de 2016 afin de réduire l'usage de la racine carrée aux carrés parfaits. Celle pour la classe de seconde est praticable dès que le travail sur les racines carrées a été réalisé. On a veillé ici à ce que les trois nombres identifiés n'aient pas le même nombre d'écritures proposées.

Une variante à propos de la distinction entre les valeurs approchées et la valeur exacte est aussi proposée. Elle s'appuie davantage sur l'utilisation d'un outil numérique comme la calculatrice.

Egalités vraies ou fausses

Cette activité propose 20 égalités qui peuvent être "toujours vraie", "parfois vraie" ou bien "jamais vraie" (donc "toujours fausse").
Elle permet de distinguer les statuts d'inconnue et d'indéterminée de la lettre mais aussi de revenir sur les priorités opératoires et la distributivité.
On aborde aussi la notion de contre-exemple pour invalider le vrai ou le faux tout en sous-entendant le quantificateur universel ("pour tout") dans l'identité (remarquable ou pas).
Une correction est aussi proposée.
Cette activité reprend celle proposée en quatrième mais en incorporant des racines carrées et des développements avec la double distributivité (voire des identités remarquables).

Triplets Pythagoriciens

L'activité est un travail qui nécessite l'utilisation d'un outil numérique par les élèves qui doivent donc préalablement en maîtriser les fonctionnalités.
Dans un premier temps, ce travail en salle informatique permet d'élaborer un fichier à l'aide d'un tableur ou de réaliser un programme afin de conjecturer que la réciproque du théorème de Pythagore est vérifiée pour une famille de trois nombres entiers déterminés en fonction de deux paramètres m et n.
Dans un second temps, la démonstration de l'égalité est envisagée avec une phase de calcul littéral assez élaborée alliant distributivité et puissances.

Léo Möser

L'activité est un travail qui nécessite l'utilisation d'un outil numérique par les élèves qui doivent donc préalablement en maîtriser les fonctionnalités comme pour l'activité des Triplets Pythagoriciens.
Ce travail en salle informatique permet d'élaborer un fichier à l'aide d'un tableur ou de réaliser un programme afin de déterminer la ou les formules qui conviennent pour le problème posé : compter le nombre de régions de découpage d'un disque suivant le nombre de points sur le cercle.
On peut remarquer que les valeurs des six formules pour les trois premiers entiers non nuls sont identiques. Ensuite, les valeurs commencent à différer mais certaines formules continuent de produire les mêmes résultats. Les élèves confrontent donc ces résultats aux découpages correspondants d'un disque au fur et à mesure que le nombre de points sur le cercle augmente.
On observe même deux groupes de résultats différents pour n=6 qui deviennent un seul groupe pour n=7 réunissant des formules des deux groupes précédents : phénomène assez perturbant pour des élèves !
Un fichier d'aide permet de visualiser un découpage pour n=5 et pour n=6 et ainsi permettre de compter manuellement les régions obtenues. Sa correction est fournie.
Finalement, deux formules émergent et continuent de produire les mêmes résultats. On peut alors envisager une démonstration de leur égalité (pour tout entier n). Notez que la confrontation avec les résultats des découpages pour n=7 et les valeurs suivantes devient délicate.

Le traiteur paresseux

Cette activité est semblable à la précédente nommée "Léo Möser". Elle s'appuie sur les mêmes prérequis et nécessite une démarche identique. Ici, les formules proposées s'intéressent aux nombres maximums de régions obtenues dans un disque en fonction du nombre de cordes (et non plus en fonction du nombre de points sur le cercle). Les élèves doivent établir des tableaux de valeurs partiels pour cinq (ou six) formules données. l'outil informatique (tableur) peut être utile. En dénombrant les régions pour différents nombres de cordes, ils doivent éliminer les formules s'avérant fausses.. La notion de contre-exemple est ainsi abordée : une seule valeur fausse suffit pour disqualifier une expression algébrique.

Une feuille d'aide permet aux élèves de pouvoir plus facilement étudier les situations lorsque le nombre de cordes augmente.

Suivant le niveau d'instrumentalisation des élèves sur le tableur, la fiche de conseils ci-contre peut être proposée pour les accompagner dans leurs recherches.

A l'issue des calculs, deux formules résistent car elles retournent les mêmes valeurs pour les dix premiers entiers naturels, valeurs conformes à la situation. Le recours au calcul littéral s'impose alors pour démontrer l'identité de ces deux expressions algébriques. Ce calcul littéral est relativement simple puisqu'il nécessite seulement d'utiliser la simple distributivité. La fiche bilan proposée ci-contre présente les éléments à retenir pour cette situation.

Une description détaillée de l'activité figure dans les fichiers ci-contre. Elle reprend les documents précédents mais propose également des analyses a priori et a posteriori de la situation ainsi que des exemples de productions d'élèves.

Le carré augmente

L'activité proposée est une activité avec 4 consignes semblables. Elle peut conduire, après une recherche individuelle, à un travail de groupe dont le but ultime serait d'envisager une généralisation.
Le calcul littéral est sollicité pour un travail autour de la résolution d'équations se ramenant à une équation du premier degré de la forme (x+a)²=x²+b. Un objectif raisonnable serait sans doute de résoudre de telles équations mais selon les difficultés des élèves dans ce domaine, on peut avoir des réponses qui restent dans le domaine arithmétique sans jamais passer à la lettre et au calcul littéral.
Cette activité permet donc de gérer la diversité des élèves entre des méthodes arithmétiques ou algébriques.
Une résolution géométrique est proposée dans le fichier Geoplan.

Rectangle et carré

L'activité proposée est une activité dans le même esprit que l'activité "le carré augmente".
On y retrouve différentes méthodes dont on peut retrouver une synthèse dans le fichier de l'analyse a priori.
Une résolution géométrique est proposée dans le fichier Geoplan.

Somme égale à 300

L'activité proposée ne demande pas aux élèves de chercher deux nombres dont la somme vaut 300 mais de déterminer de combien augmente leur produit si chacun augmente de 7.
Une méthode arithmétique peut être employée avec des essais et ajustements.
Le calcul littéral peut être sollicité mais cette fois, il repose sur l'utilisation de deux lettres au lieu d'une seule et on ne cherche pas à connaitre la valeur de ces deux nombres ce qui peut être un peu déstabilisant. On utilise à la fois le développement et la factorisation.

La somme est égale au produit

L'activité proposée est une activité avec 4 consignes différentes qui s'appuient sur une base commune : deux fractions ayant le même numérateur dont le produit est égal à la somme.
Une méthode arithmétique peut être employée avec des essais et ajustements mais elle ne permet pas de trouver facilement toutes les solutions possibles.
Pour les deux premières consignes, une mise en équation peut être réalisée mais cette fois, elle repose sur l'utilisation de deux lettres au lieu d'une seule. on cherche ensuite les solutions d'une équation à deux inconnues entières.
Pour les deux autres consignes, la mise en équation permet de se ramener à une équation de type produit nul.
Dans le fichier de correction, on se focalise uniquement sur des entiers naturels. A priori les élèves auront une forte tendance à n'entrevoir que ce type d'entier.

La différence des inverses

Dans cette activité, les élèves sont confrontés aux notions d'inverses, de différence et d'entiers consécutifs. Elle nécessite de maîtriser les calculs sur les fractions et le calcul littéral. La lettre peut être utilisée comme indéterminée puis comme inconnue. Les élèves peuvent recourir à une méthode arithmétique par essais et corrections successifs ou a une méthode algébrique.

Les fichiers ci-contre proposent une description précise de l'activité avec analyses et mode de gestion.

La table de Pythagore

Cette activité s’appuie sur des tables de Pythagore. Elle s’adresse à des élèves qui recourent naturellement aux lettres comme outil de preuve. De plus, la maîtrise de la double distributivité est nécessaire pour mener à bien les calculs littéraux.

Les consignes proposées sont de difficultés croissantes et permettent de gérer la diversité des élèves d’une classe. Dans un premier temps, les expressions algébriques contiennent deux indéterminées (nombres, libellés d’une colonne et d’une ligne). Dans un second temps, s’ajoute l’utilisation de deux paramètres (nombre de lignes et de colonnes) pour généraliser.

Le document ci-contre propose une correction pour les différentes questions.

Programmes de calculs

Cette activité s'intéresse à l'aspect structural des expressions algébriques. Dans la consigne 1, les élèves doivent retrouver les programmes de calcul équivalents. Une certaine maîtrise du calcul littéral (double distributivité, identités remarquables, etc.) est indispensable pour effectuer les développements nécessaires.
Dans la consigne 2, les élèves sont conduits à choisir les expressions algébriques des programmes de calcul les plus pertinentes pour résoudre certaines équations, inéquations ou encore calculer des images.

Dans le document ci-contre, la correction proposée contient également le bilan nécessaire à la définition des trois programmes de calcul pour la consigne 2.

Simple distributivité

Le parcours 5 intitulé "Calcul littéral" peut permettre à des élèves en difficulté de revoir la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition en s'appuyant sur des tableaux multiplicatifs. Axé principalement sur la simple distributivité, il permet de travailler aussi bien le développement que la factorisation, et en fin de parcours, d'aborder la double distributivité.
Il est composé de deux fiches et de cinq vidéos.

Arithmétique

Le parcours 8 présente deux versions pour la décomposition en produits de facteurs premiers : l'une avec Scratch pour le collège, l'autre avec Python.
En troisième, avant de travailler autour du programme Scratch, les élèves découvrent l'algorithme de décomposition à travers différentes activités.
Des vidéos sur le crible d'Eratosthène et sur la méthode de décomposition "à la main" accompagnent ce parcours.

Equations du premier degré

Le parcours 10 intitulé "Equations du premier degré" permet de travailler la résolution d'équations. Après une première vidéo présentant les propriétés reliant opérations et égalités, huit autres vidéos permettent de visualiser de façon dynamique les différentes étapes de la résoltution d'une équation. Des exercices d'application sont systématiquement proposés.